Stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

Powyższy moduł jest poświęcony określeniu stabilności rozwiązań równań skalarnych i wektorowych rzędu pierwszego.
Potocznie mówiąc rozwiązanie równania różniczkowego rzędu pierwszego jest stabine jeżeli niewiele zmieni się warunki początkowe to rozwiązania też niewiele się różnią od siebie.

Rozważmy równanie:

(1)

\( x^\prime=f(t,x) \)

gdzie \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots ,x_n),\hskip 0.3pc t\ge t_0 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pcf(t,x)=(f_1(t,x),\ldots ,f_n(t,x)). \)

Definicja 1: Stabilność w sensie Lapunowa

Rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) jest stabilne w sensie Lapunowa, jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0 \hskip 0.3pc \)istnieje \( \hskip 0.3pc \delta>0, \hskip 0.3pc \) że każde rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \) tego równania, gdy warunki początkowe spełniają nierówność

\( \|x(t_0)-y(t_0)\|<\delta \)

\( \|x(t)-y(t)\|<\varepsilon \hskip 0.3pc{\rm dla \hskip 0.2pc każdego \hskip0.4pc } t\ge t_0\hskip 0.3pc {\rm gdzie \hskip 0.2pc określone \hskip 0.2pc są \hskip 0.2pc oba \hskip 0.2pc rozwiązania}. \)

Definicja 2: Asymptotyczna stabilność

Rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) jest asymptotycznie stabilne jeżeli

i. \( \hskip 0.3pc \) jest stabilne w sensie Lapunowa
ii. \( \hskip 0.3pc \) określone jest na przedziale \( \hskip 0.3pc [t_0,\,\infty ] \hskip 0.3pc \)
iii. \( \hskip 0.3pc \) istnieje \( \hskip 0.3pc \delta>0, \hskip 0.3pc \)że każde rozwiązanie \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) jest określone na przedziale \( \hskip 0.3pc [t_0,\,\infty ] \hskip 0.3pc \) gdy

\( \|x(t_0)-y(t_0)\|< \delta \hskip 0.8pc {\rm i} \hskip 0.8pc \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|x(t)-y(t)\|=0. \)

Uwaga 1:

Jeżeli funkcja \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ) to funkcja tożsamościowo równa zero jest rozwiązaniem równania:

(2)

\( x^\prime(t)=f(t,x(t)+y(t))-f(t,y(t)). \)

Rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) jest stabilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie zerowe równania ( 2 ) jest stabilne (asymptotycznie stabilne).
Istotnie, rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \) jest stabilne w sensie Lapunowa to dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0 \hskip 0.3pc \) istnieje \( \hskip 0.3pc \delta >0 \hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc \|x(t)-y(t)\|<\varepsilon \hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc x(t) \hskip 0.3pc \)jest rozwiązaniem równania ( 1 ) i \( \hskip 0.3pc \|x(t_0)-y(t_0)\|<\delta. \hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc z(t):=x(t)-y(t). \hskip 0.3pc \) Ponieważ

\( z^\prime=x^\prime-y^\prime=f(t,x)-f(t,y)=f(t,z+y)-f(t,y), \)

więc \( \hskip 0.3pc z \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 2 ) ponadto \( \hskip 0.3pc \|z(t_0)-0\|<\delta \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc\|z(t)-0\|<\varepsilon. \hskip 0.3pc \) Zatem rozwiązanie zerowe jest stabilne w sensie Lapunowa. W drugą strone rozumowanie jest analogiczne.
Ponieważ

\( \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|x(t)-y(t)\|=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|z(t)-0\|=0 \)

więc jak rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t) \hskip 0.3pc \)równania ( 1 ) jest asymptotycznie stabilne to rozwiązanie zerowe równania ( 2 ) również jest asymptotycznie stabilne.

Przykład 1:

Rozważmy następujące skalarne równanie różniczkowe

(3)

\( x^\prime+x=e^{-t}. \)

Funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)=te^{-t} \hskip 0.3pc \)jest rozwiązaniem powyższego równania z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x(0)=0. \hskip 0.3pc \)
Zbadać stabilność w sensie Lapunowa rozwiązania \( \hskip 0.3pc y(t). \hskip 0.3pc \)
Na mocy uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

(4)

\( x^\prime+x=0. \)

Rozwiązaniem powyższego równania z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0 \hskip 0.3pc \) jest funkcja

\( x(t)=x_0e^{-t}. \)

Bierzemy dowolne \( \hskip 0.3pc \varepsilon>0. \hskip 0.3pc \) Szukamy \( \hskip 0.3pc \delta>0, \hskip 0.3pc \) że prawdziwa będzie implikacja

(5)

\( |x_0-0|<\delta\Rightarrow |x_0e^{-t}-0|<\varepsilon. \)

Ponieważ

\( |x_0e^{-t}|=|x_0|e^{-t}\le|x_0|\hskip 1pc {\rm dla}\hskip 0.5pc t\ge 0 \)

więc dla \( \hskip 0.3pc \delta=\varepsilon \hskip 0.3pc \) implikacja \( \hskip 0.3pc (5) \hskip 0.3pc \) jest prawdziwa, zatem rozwiązanie zerowe równania ( 4 ) jest stabilne w sensie Lapunowa.
Ponieważ

\( \lim\limits_{t\rightarrow \infty}|x_0e^{-t}-0|=|x_0|\lim\limits_{t\rightarrow\infty}e^{-t}=0 \)

więc rozwiązanie zerowe równania ( 4 ) jest asymptotycznie stabilne.

Przykład 2:

Rozważmy równanie

(6)

\( x^\prime =t(x+1). \)

Rozwiązaniem tego równania z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x(0)=y_0 \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc y_0\neq -1 \hskip 0.3pc \) jest funkcja

\( y(t)=(y_0+1)e^{\frac{t^2 }{2 }}-1. \)

Zbadać stabilność w sensie Lapunowa rozwiązania \( \hskip 0.3pc y(t). \hskip 0.3pc \)
Funkcja po prawej stronie równania ( 6 ) jest postaci \( \hskip 0.3pc f(t,x)=t(x+1), \hskip 0.3pc \) więc na podstawie uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

(7)

\( x^\prime=f(t,x+y)-f(t,y)=tx. \)

Rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym \( \hskip 0.3pc x(0)=x_0 \hskip 0.3pc \) ma postać \( \hskip 0.3pc x(t)=x_0e^{\frac{t^2 }{2 } } . \hskip 0.3pc \)
Ponieważ \( \hskip 0.3pc |x_0|e^{\frac{t^2 }{2 }} \hskip 0.3pc \)zmierza do nieskończoności jak \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) zmierza do nieskończoności, więc dla dowolnego \( \hskip 0.3pc\varepsilon >0 \hskip 0.3pc \)nie można znależć \( \hskip 0.3pc \delta>0 \hskip 0.3pc \)takiej, że prawdziwa byłaby implikacja:

\( |x_0|<\delta \Rightarrow |x_0e^{\frac{t^2 }{2 }} |<\varepsilon \hskip 1pc {\rm dla}\hskip 0.6pc t\ge 0. \)

Zatem rozwiązanie zerowe równania ( 7 ) nie jest stabilne w sensie Lapunowa.

Przykład 3:

Rozważmy równanie

(8)

\( x^\prime =f(t,x),\hskip 1pc {\rm gdzie}\hskip 0.3pc x=(x_1,\,x_2) \hskip 0.6pc {\rm i}\hskip0.6pc f(t,x)=(-x_2+1,\,x_1). \)

Funkcja

\( \hskip 0.3pc y(t)=(a_1\cos t -a_2\sin t,\, a_1\sin t+a_2\cos t+1) \)

jest rozwiązaniem równania ( 8 ) z warunkiem poczatkowym \( \hskip 0.3pc x(0)=(a_1,\,a_2) \hskip 0.3pc \)

Zbadać stabilność rozwiązania \( \hskip 0.3pc y(t). \hskip 0.3pc \)
Na podstawie uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

(9)

\( x^\prime=f(t,x+y)-f(t,y)=(-x_2,\,x_1). \)

Rozwiązaniem równania ( 9 ), które spełnia warunek początkowy \( \hskip 0.3pc x(0)=(b_1,\,b_2)\hskip 0.3pc \) jest następująca funkcja

\( x(t)=(b_1\cos t-b_2\sin t,\, b_1\sin t+b_2\cos t). \)

Bierzemy dowolne \( \hskip 0.3pc \varepsilon>0. \hskip 0.3pc \) Szukamy \( \hskip 0.3pc \delta>0, \hskip 0.3pc \) że zachodzić będzie implikacja

(10)

\( \|x(0)-(0,0)\|<\delta\Rightarrow \|x(t)-(0,0)\|<\varepsilon. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \|x(0)\|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \|x(t)\|=\sqrt{(b_1\cos t-b_2\sin t )^2+ (b_1\sin t+b_2\cos t)^2 }=\sqrt{b_1^2+b_2^2}.\hskip 0.3pc \)
Zatem dla \( \hskip 0.3pc \delta=\varepsilon \hskip 0.3pc \) implikacja ( 10 ) zachodzi, więc rozwiązanie zerowe równania ( 9 ) jest stabilne w sensie Lapunowa.
Rozwiązanie zerowe nie jest asymptotycznie stabilne ponieważ

\( \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\|x(t)-(0,0)\|=\sqrt{b_1^2+b_2^2}\neq 0. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: